卢昌海的《黎曼猜想漫谈》

GL_n · 发表于 2018-5-18 04:57:51

本帖最后由 GL_n 于 2018-6-19 09:04 编辑

卢昌海的《黎曼猜想漫谈》是一本数学科普书，主要讲述数学上的一个伟大的猜想：黎曼猜想。德国数学家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866) 在 1859 年的一篇只有八页的论文里提出了一个关于黎曼 ζ函数的零点分布的猜想：黎曼 ζ 函数在复平面上的所有非平凡零点都位于实部等于1/2的这根直线上。

这个猜想之所以伟大而困难，是因为黎曼 ζ 函数和素数分布函数π(x)之间有直接的联系，可以说，素数分布的所有信息都蕴含在了黎曼 ζ函数之中；而素数分布的规律，是人类上千年以来都在追求的一个梦想。素数为什么如此重要？因为它们可以看作数学世界里的“原子”。19世纪德国的另一个大数学家Kronecker曾说：“Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk（上帝创造了整数，其余都是人做的工作）。”根据算术基本定理，每个整数都可以分解成有限个不同素数的乘积，而且这种分解是唯一的；所以，我们可以说，知道了素数的规律，那么，所有整数的规律也就了然了。经过Frege，Hilbert，Russell，Gödel等人的基础性工作，现代的整个数学大厦，首先是从算术，也就是整数层面开始构筑，然后，一步步完备化，经过微积分，解析几何，直到现代数学的宏伟版图的边界。从这个数学的逻辑严密化过程中，也可以看出来为什么从古希腊至今，数论，从来都是数学里面的绝对核心；另一方面，对于素数的研究，又是数论领域里的绝对核心。如果要问，现代数学哪个研究领域能够用上整个数学武器库里的工具？那么，一个毫无争议的答案就是：数论。尽管现代数学越来越专业化，但数论的研究，却能把几乎所有数学领域的工具给串起来，也就是说，如果给数论领域的所有paper做一个统计研究，会发现，这些paper里所用的工具的集合，就是整个的数学武器库。所以，黎曼猜想才会如此的伟大和深邃！时至今日，不仅仅是数学界在研究黎曼猜想，而且物理学界，也在猛力的研究它。黎曼猜想与理论物理的神秘联系，可以在卢昌海的这本《黎曼猜想漫谈》里看到。

卢昌海的这本科普书，是迄今为止中文世界（舶来品除外）里出现过的科普书里最好的一本。此书写的非常引人入胜，但又不失严谨性，每一行都经得起最专业的研究者的考察，这是非常非常难得的。卢昌海是一个有才华的人，他本是搞理论物理的，在哥伦比亚拿的博士，不过，后来因为种种原因，退出了学术界，去做程序员了。他个人的一些经历，他的本科论文和博士论文，以及他为什么退出学术界，等等，都可以在他个人网站：http://www.changhai.org/articles ... riemann_hypothesis/ 搜寻到。另外，他曾经建立的论坛“繁星客栈”，是中文网络世界里出现过的水平最高的几个论坛之一，曾经在那上面活跃的成员，如今好些都已经在各自领域做出了很不错的工作，有少数甚至说的上是杰出的工作。

希望这本小小的科普书，能够让人了解到一个伟大的猜想，进而稍微领略一下数学的美。数学的美，是可以和油画、交响乐、但丁的神曲相比肩的；数学里纵横交错的那些深邃的思想，是屹立在人类智力和精神的最巅峰的位置之上的一座座丰碑。数学，在一开始，在人类文明开始向高等境界迈进的那个阶段里，也就是古希腊时期，就占有一个至高无上的位置，是所谓的整个人类文化的组成部分之一；柏拉图的宇宙观，基本上是数学化的，他曾经企图把天文学纳入数学的研究范围之内，而在柏拉图之前的哲学家毕达哥拉斯，更甚，他的口号是，万物皆数，认为数学可以解释世界上的一切事物，正是从毕达哥拉斯开始，古希腊哲学产生了数学的传统。从某种程度上来说，只有法国和德国，很好的继承了古希腊的这个“数学即文化”的传统，尤其是法国，更为突出，法国从中世纪至今，一直都有伟大的数学家、伟大的思想家以及伟大的哲学家源源不断的产生，与这个传统的有续传承是有很大关系的。

20世纪法国的一个大数学家Diodonné写过一本数学科普书，书名叫：Pour l'honneur de l'esprit humain — les mathématiques aujourd'hui，中文意思是，当代数学，为了人类心智的荣耀。其实，这句话，Diodonné是从雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）那里借来的，雅可比在1830年给Legendre的一封信里写到：“......II est vrai que M. Fourier avait l'opinion que Ie but principal des mathématiques était l’utilité publique et l'explication des phénomènes naturels; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que Ie but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et que sous ce titre, une question des nombres vaut autant qu’une question du système du monde……”[ Ref: Korrespondenz Adrien-Marie Legendre — Carl Gustav Jacob Jacobi: Correspondance mathématique entre Legendre et Jacobi, Herausgegeben von HERBERT PIEPER, p.77-78]（“傅里叶先生认为，数学的主要目的是服务人类，解释自然现象；但像他这样的哲学家应当知道，科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀，因此，一个关于数的问题与一个关于宇宙体系的问题具有同样的意义。” ）雅可比是谁？他是19世纪德国的一个伟大的数学家，最杰出的贡献在椭圆函数论，而椭圆函数论可以说是19世纪数学领域里最辉煌最完美的理论之一；如今大学里所有学微积分的学生，在学多元积分的时候，都会碰到一个很重要的矩阵，即雅可比矩阵，这个雅可比就是Carl Gustav Jacob Jacobi；等学到更高等一点的数学时，比如基础数学研究生的标准课程之一，Lie algebra以及Lie group（Lie theory是现代数学里最最重要的理论之一），一开始定义Lie algebra的时候，就会碰到一个雅可比恒等式（Jacobi identity），这个雅可比还是Carl Gustav Jacob Jacobi。

在连接的文件夹里，放了《黎曼猜想漫谈》的equib, pdf, mobi,azw3诸格式，而且，另外添加了一些可能会用得上的背景材料，关于Riemann zeta function的几本经典教科书以及一些我觉得讲的比较好的讲义。现大概介绍一下这些资料的情况，或许有人会因为读了这本科普而走上研究数学的道路也说不定。

1，The theory of the Riemann zeta function_Titchmarsh, Revised by Heath-Brown，Titchmarsh的这本书是讲Riemann zeta function的一本经典著作，如果觉得有点厚，可以先看他下面的这本较早的书

2，The Zeta Function of Riemann_Titchmarsh. Titchmarsh是G. H. Hardy的学生，函数论功夫是世界最顶尖级的。

3，Riemann's Zeta Function_H. M. Edwards，这本书的好处就是讲了不少与Riemann zeta function有关的背景材料，让人很容易读下去，不像Titchmarsh的书那样干巴巴。这本书得到过Steele Prize ，这是颁给那些写的特别好的数学书的一个专门奖项。

4，Lectures on the Riemann Zeta Function_ H. Iwaniec，这本讲义的作者 Iwaniec是当今解析数论领域里领头的大佬级人物，张益唐的那篇关于孪生素数猜想的论文就是他审阅后拍板发在Annals of Mathematics上的。这本讲义写的比较简短，也很基础，比较适合初学者看。

5，Exploring the Riemann Zeta Function 190 years from Riemann's Birth，这本书里的paper基本都是一些新进展的报道。

6，Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse，这就是黎曼1859 年的那篇8页的超越时代的论文，我放了好几个版本，有德文原版，英文、法文和中文翻译版；另外，还加了两个手稿，一个是manuscript A，一个是manuscript B，B手稿要早于A手稿。

黎曼一生只发表了寥寥几篇论文，但每一篇论文都是划时代的，每一篇论文都开创了一个学科；其中有些，比如关于黎曼猜想以及关于几何学的论文，甚至有超越时代的影响，单说这仅仅8页的关于黎曼猜想的论文，里面有些省略掉的证明以及他的一些论断，今天的数学家都没有完全理解，不知道他的一些结果是怎么得出来的，以及他为什么要做那样的论断，有何深意。历史已经证明，黎曼的每一个论断，都不是随便说说的，都有很深刻的背景和考虑在里面，只是黎曼自己在发表的论文里完全略去了这些简短话语后面的庞大而深邃的背景。所以，黎曼的那本薄薄的论文全集，直到今天，仍然有阅读以及挖掘的价值；曾经有好几位20世纪的大数学家通过研读黎曼的论文，或者得到了很大的灵感，或者直接出来了一些很不平凡的数学定理，比如 André Weil，比如Carl Siegel。

挪威的大数学家Abel曾说过一句著名的话：“It appears to me that if one wants to make progress in mathematics one should study the masters and not the pupils.- N.H. Abel (1802-1829), quoted from an unpublished source by O. Ore in Niels Henrik Abel, Mathematician Extraordinary, p. 138.” 而André Weil，Carl Siegel，Atle Selberg，这些伟大的先行者，都用自己的实际行动证明了Abel的这句话，所言不虚。Let’s Read the Masters!

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[自然科学] 卢昌海的《黎曼猜想漫谈》